Відкриваючи таємниці квадратних рівнянь: Формула дискримінанту на службі математики

Формула дискримінанту: основи та застосування

В математиці і, зокрема, в алгебрі, **формула дискримінанту** відіграє важливу роль у розв’язанні квадратних рівнянь. Квадратне рівняння має загальний вигляд: ax² + bx + c = 0, де a, b, c – це коефіцієнти, а x – змінна. Для того щоб знайти корені цього рівняння, ми можемо використовувати **формулу дискримінанту**.

Що таке дискримінант?

Дискримінант – це величина, яка визначається за допомогою коефіцієнтів квадратного рівняння. Він обчислюється за формулою D = b² — 4ac. З цієї формули видно, що дискримінант залежить від значень b, a і c. Результат обчислення дискримінанта має важливе значення для розуміння природи коренів квадратного рівняння.

Значення дискримінанта

Значення **формули дискримінанту** дозволяє визначити, чи є у квадратного рівняння корені, і якщо так, то скільки їх. Залежно від значення дискримінанта, відбуваються такі випадки:

• D > 0: Рівняння має два різні корені. Це означає, що графік параболи перетинає вісь абсцис у двох точках.
• D = 0: Рівняння має один корінь (дубльований корінь). У цьому випадку графік параболи дотикається до осі абсцис в одній точці.
• D < 0: Рівняння не має дійсних коренів. Це означає, що графік параболи не перетинає осі абсцис, а знаходиться або верхньому, або нижньому положенні відповідно до знаку a.

Використання формули дискримінанту для розв’язування рівнянь

Для розв’язання квадратного рівняння, спочатку обчислюють дискримінант. Потім, в залежності від значення дискримінанта, застосовують відповідну формулу для знаходження коренів.

Якщо D > 0, корені знайдуться за формулами:

x₁ = (-b + √D) / 2a

x₂ = (-b — √D) / 2a

Якщо D = 0, то корінь обчислюється за формулою:

x = -b / 2a

Коли D < 0, просто констатуємо, що коренів немає у множині дійсних чисел.

Приклад використання формули

Розглянемо конкретний приклад: розв’язати рівняння 2x² — 6x + 4 = 0.

Спочатку визначимо коефіцієнти: a = 2, b = -6, c = 4.

Обчислимо дискримінант:

D = (-6)² — 4 * 2 * 4 = 36 — 32 = 4.

Оскільки D > 0, у рівняння є два різні корені. Тепер можемо знайти їх за формулою:

x₁ = (6 + √4) / 2 * 2 = (6 + 2) / 4 = 8 / 4 = 2

x₂ = (6 — √4) / 2 * 2 = (6 — 2) / 4 = 4 / 4 = 1

Отже, корені рівняння: x₁ = 2, x₂ = 1.

Висновок

**Формула дискримінанту** є потужним інструментом у математиці, який допомагає не лише вирішувати квадратні рівняння, а й розуміти їхню природу. Знання принципів обчислення дискримінанта та коренів рівняння відкриває перспективи для подальшого вивчення алгебри, аналізу функцій та інших розділів математики.